Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38074

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a\tiny \sqrt{3}, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \tiny \frac{a\sqrt{3}}{4}, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a\tiny \sqrt{3}, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \tiny \frac{a\sqrt{3}}{4}, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 


A.
\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}
B.
\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}
C.
\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}
D.
\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết AC = \tiny 2a\sqrt{3}; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác AOB vuông tại O và AO = a\tiny a\sqrt{3}; BO = a, do đó \tiny \widehat{ABD}= 60^{0}

Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a\tiny a\sqrt{3};

OK // DH và OK = \tiny \frac{1}{2}DH = \tiny \frac{a\sqrt{3}}{2} \tiny \Rightarrow  OK ⊥ AB \tiny \Rightarrow AB ⊥ (SOK)

=> (SOK) vuông góc với (SAB); mà \dpi{80} (SOK)\bigcap (SAB)=SK

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB⊥ OI \tiny \Rightarrow OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao \tiny \Rightarrow \frac{1}{OI^{2}}= \frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}   \tiny \Rightarrow SO= \frac{a}{2}

Diện tích đáy SABCD = 4S.∆ABO = 2.OA.OB=2\sqrt{3}a^{2} ;

đường cao của hình chóp \tiny SO = \frac{a}{2}.

Thể tích khối chóp S.ABCD: \tiny V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3} (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết