Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15527

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn small x^{3}+y^{3}=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức small A=frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương x,y thoả mãn small x^{3}+y^{3}=1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức small A=frac{x^{2}+y^{2}}{(1-x)(1-y)}


A.
small frac{3}{(sqrt[3]{2}-1)^{3}}
B.
minP=small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}
C.
minP=small frac{6}{(sqrt[3]{2}-1)^{3}}
D.
minP=small frac{3}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt: a=x+y; b=xy

small x^{3}+y^{3}=1<=>(x+y)^{3}-3xy(x+y)=1

<=>small a^{3}-3ab=1 <=>small b=frac{a^{3}-1}{3a}

Do x;y>0 nên b>0 =>a>1

Ta lại có: small x^{3}+y^{3}geq frac{(x+y)^{3}}{4} (CM bằng cách biến đổi tương đương)

=>small 1geq frac{a^{3}}{4} <=>small aleq sqrt[3]{4}

Do đó: 1<small aleq sqrt[3]{4}

Ta có: P=small frac{a^{2}-2b}{1-a+b}=frac{a^{2}-2.frac{a^{3}-1}{3a}}{1-a+frac{a^{3}-1}{3a}}=frac{a^{3}+2}{(a-1)^{3}}

P'(a)=small frac{-3a^{2}-6}{(a-1)^{4}}

=>P(a) nghịch biến trên small (1;sqrt[3]{4}]

=> P(a) small geq P(sqrt[3]{4}) =small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}}

Dấu bằng xảy ra khi: small left{begin{matrix} x+y=sqrt[3]{4}\ x=y>0 end{matrix}right.<=>x=y=frac{1}{sqrt[3]{2}}

Vậy minP=small frac{6}{(sqrt[3]{4}-1)^{3}} khi x=y=small frac{1}{sqrt[3]{2}}

 

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết