Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 32597

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2\left ( \frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b} \right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a2+b2+(a+b)=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=2\left ( \frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b} \right )+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}


A.
MinP=1+\frac{2}{\sqrt{5}}
B.
MinP=4+\frac{2}{\sqrt{5}}
C.
MinP=4+\frac{2}{\sqrt{6}}
D.
MinP=5+\frac{2}{\sqrt{5}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có: 4\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}+(a+b)\Leftrightarrow-4\leq a+b\leq 2\Rightarrow 0<a+b\leq 2

Ta có: 2\frac{a^{2}+1}{a^{2}+a}\geq -a+3\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a+2)\geq 0 ( Luôn đúng)

Tương tự ta có: 2\frac{b^{2}+1}{b^{2}+b}\geq -b+3

Do đó P\geq -(a+b)+\frac{a+b}{\sqrt{(a+b)^{2}+1}}+6.

Đặt t=a+b, 0<t\leq2, ta có: P\geq -t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}+6

Xét hàm số f'(t)=-t+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}+6}, t\in (0;2]

\Rightarrow f'(t)=-1+\frac{1}{(\sqrt{t^{2}+1})^{3}}<0, \forall t\in (0;2]

Do f(t) liên tục nên f(t) nghịch biến trên (0;2] => f(t) \geq f(2)=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]=4+\frac{2}{\sqrt{5}},\forall t\in (0;2]

Vậy MinP=4+\frac{2}{\sqrt{5}} đạt được khi a=b=1

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết