Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39845

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1 = x + y - xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{xy}{x+y+1}

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1 = x + y - xy.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{xy}{x+y+1}


A.
P = 1
B.
P = -2
C.
P = 0
D.
P = -1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có: x2 + y2 + xy = x + y + 1 ⇔ xy = (x + y)2 - (x + y) - 1

Đặt t = x + y, ta có: (x + y)2 ≥ 4xy.

Suy ra: 3t2 – 4t - 4 ≤ 0 ⇔ - \frac{2}{3} ≤ t ≤ 2. Khi đó P = \frac{t^{2}-t-1}{t+1}

Xét hàm số: f(t) = \frac{t^{2}-t-1}{t+1} , - \frac{2}{3} ≤ t ≤ 2

Ta có f'(t) = \frac{t^{2}+2t}{(t + 1)^{2}} = 0 ⇔ \left [\begin{matrix} t = 0 & & \\ t=-2 & & \end{matrix}

Do đó: f(- \frac{2}{3}) = f(2) = \frac{1}{3}; f(0) = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất P = -1 khi t = 0 ứng với x = -1; y = 1 hoặc x = 1, y = -1

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết