Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39047

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{1}{2 + x + yz} +   \frac{1}{2 + y + zx} + \frac{1}{2 + z + xy}

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{1}{2 + x + yz} +   \frac{1}{2 + y + zx} + \frac{1}{2 + z + xy}


A.
maxP = \frac{3}{8}
B.
maxP = \frac{2}{8}
C.
maxP = \frac{1}{8}
D.
maxP = \frac{5}{8}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng BĐT Côsi ta có: 3xyz = 4(x + y + z) ≥ 4.3 \sqrt[3]{xyz} , nên xyz ≥ 8

Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta đươc:

2 + x + yz ≥ 2\sqrt{2x} + yz ≥ 2. \sqrt{2yz \sqrt{2x}}  =  2. \sqrt{2yz \sqrt{2x}} = 2\sqrt{2\sqrt{2xyz}\sqrt{yz}} ≥ 4√2.\sqrt[4]{yz}

Suy ra 

\frac{1}{2 + x + yz} \leq \frac{1}{4\sqrt{2}}\ .\frac{1}{\sqrt[4]{yz}} \leq \frac{1}{4}\ .\frac{1}{2}\ . \left ( \frac{1}{2}\ + \frac{1}{\sqrt{yz}} \right ) \leq \frac{1}{8}\ .\left ( \frac{1}{2}\ +\frac{1}{4} +\frac{1}{yz}\right )= \frac{1}{8}\left (\frac{3}{4} +\frac{1}{yz}\right )

Tương tự ta cũng có

 \frac{1}{2 + z + xy} \leq  \frac{1}{8}\ .\left ( \frac{3}{4}\ + \frac{1}{xy}\right ) 

\frac{1}{2 + z + zx} \leq  \frac{1}{8}\ .\left ( \frac{3}{4}\ + \frac{1}{zx}\right )

Khi đó P \leq \frac{1}{8} . (\frac{9}{4} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}) =\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4} +\frac{3}{4}\right )=\frac{3}{8}

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết