Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 1312

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3.\sqrt[3]{abc} = 1. Chứng minh rằng: a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab} ≤ \frac{1}{3}.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3.\sqrt[3]{abc} = 1. Chứng minh rằng: a\sqrt{bc} + b\sqrt{ca} + c\sqrt{ab} ≤ \frac{1}{3}.


A.
a=b=c= 2
B.
a=b=c= \frac{1}{3}
C.
a=b=c= -1
D.
a=b=c= \frac{2}{5}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ b≥ c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3\sqrt[3]{abc} = 2a-2c+3\sqrt[3]{abc} ≥ a+b-2c+3c = a+b+c.

Khi đó ta có

a\sqrt{bc} +b\sqrt{ca}+ c\sqrt{ab} = \sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ba} + \sqrt{ca}.\sqrt{cb}

                                     ≤ ab+bc+ca ≤\frac{(a+b+c)^{2}}{3} ≤ \frac{1}{3}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=\frac{1}{3}.

Nhận xét: Chúng ta có thể giải theo cách khác như sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3.\sqrt[3]{abc}= 2a-2c+\sqrt[3]{abc}.

Ta chứng minh

a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab} ≤ \frac{1}{3} (2a+\sqrt[3]{abc})^{2}         (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) tương đương với.

3a\sqrt{bc}+3b\sqrt{ca}+3c\sqrt{ab} ≤ = 4a2+ 4a.\sqrt[3]{abc} +\sqrt[3]{abc}^{2}.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết a ≥ b ≥ c>0 ta có

= 4a2 +4a.\sqrt[3]{abc}  ≥2\sqrt{16a^{3}.\sqrt[3]{abc}} = 8a.\sqrt[6]{a^{4}bc}

                              ≥ 8a\sqrt[6]{b^{3}c^{3}} = 8a\sqrt{bc} ≥ 3a\sqrt{bc}+3b\sqrt{ca}+2c\sqrt{ab}

và \sqrt[3]{abc}^{2} = \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}  ≥ 8a\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}c^{3}} = c\sqrt{ab}

Cộng hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=\frac{1}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết