Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 37228

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{4a^{3}+3b^{3}+2c^{3}-3b^{2}c}{(a+b+c)^{3}}

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \frac{4a^{3}+3b^{3}+2c^{3}-3b^{2}c}{(a+b+c)^{3}}


A.
\frac{9}{25}
B.
\frac{8}{25}
C.
\frac{4}{25}
D.
\frac{6}{25}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 3b2c ≤ 2b3 + c3 (*).

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Ta sẽ chứng minh: b3 + c3 ≥ \frac{(b +c)^{3}}{4}  (**), với ∀b, c > 0.

Thật vậy (**)

<=> 4(b3 + c3) ≥ b3 + c3 + 3b2c + 3bc2

<=> b3 + c3 – b2c – bc2 ≥ 0 <=> (b + c)(b - c)2 ≥ 0, luôn đúng ∀b, c > 0

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Áp dụng (*) và (**) ta được P  ≥ \frac{4a^{3}+\frac{(b+c)^{3}}{4}}{(a+b+c)^{3}} = 4t3 + \frac{1}{4}(1 – t)3

, với t = \frac{a}{a+b+c} , t ε (0;1)

Xét f(t)= 4t3 + \frac{1}{4}(1 - t)3 với t ε (0;1)                              

f’(t) = 12t2 – \frac{3}{4}(1 - t)2 ; f’(t) = 0 <=> t = \frac{1}{5} 

Suy ra f(t) ≥  \frac{4}{25} 

Dấu "=" xảy ra khi t = \frac{1}{5}

=> P ≥ \frac{4}{25}. Dấu "=" xảy ra khi \left\{\begin{matrix} b=c & \\ \frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{5} & \end{matrix}\right. <=> 2a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{4}{25} khi 2a = b = c

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết