Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34168

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biể

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}


A.
maxP= √ 5
B.
maxP= √ 3
C.
maxP= √ 2
D.
maxP=1
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

P=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z}{y})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{z}}}

Trước hết ta chứng minh BĐT \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}(*); với a,b >0, ab ≤ 1

Ta có: \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+a^{2}}+ \frac{1}{1+b^{2}}\right )}

Mặt khác \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow (a-b)2(ab-1)≤ 0 luôn đúng với a, b >0, ab ≤ 1

Suy ra BĐT (*) đúng. Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi a=b

Áp dụng BĐT (*) ta có P\leq \frac{2}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}

Đặt t=\frac{z}{x}, 0<t≤1, P\leq \frac{2}{\sqrt{1+t}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}}=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}

Xét hàm số f(t)=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}; 0<t≤1, f'(t)=\frac{1-2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}\sqrt{(t+1)^{3}}} ; f'(t)=0 => t \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}

 

Vậy maxP= √ 5 khi \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}=\frac{z}{y} & \\ t=\frac{1}{4}=\frac{z}{x} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2y=4z

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết