Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31177

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng: 8a^{4}+8b^{4}+27c^{4}\geq \frac{27}{64}(a+b+c)^{4}

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng: 8a^{4}+8b^{4}+27c^{4}\geq \frac{27}{64}(a+b+c)^{4}


A.
Click để xem đáp án.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Nếu a+b+c=0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu a+b+c \neq0 thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

8(\frac{a}{a+b+c})^{4}+8(\frac{b}{a+b+c})^{4}+27(\frac{c}{a+b+c})^{4}\geq \frac{27}{64}(1)

Đặt x=\frac{a}{a+b+c}, y=\frac{b}{a+b+c}, z=\frac{c}{a+b+c}\Rightarrow x+y+z=1. (1) trở thành 8x4+8y4+27z4\geq\frac{27}{64} (2)

Với hai số thực p.q bất kì ta có:

(p-q)^{2}\geq 0\Rightarrow 2pq\leq p^{2}+q^{2}\Rightarrow (p+q)^{2}\leq 2(p^{2}+q^{2})

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

(x+y)^{4}=[(x+y)^{2}]^{2}\leq [2(x^{2}+y^{2})]^{2}=4(x^{2}+y^{2})^{2}\leq 4.2(x^{4}+y^{4})

=8(x^{4}+y^{4})

Từ đó: 8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq (1-z)^{4}+27z^{4}=f(z)

Ta có:  f’(z)=-4(1-z)3+27.4z3; f’(z)=0 ⇔ (1-z)3=27z3\Leftrightarrow 1-z=3z\Leftrightarrow z=\frac{1}{4}

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra: 8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq f(z)\geq f(\frac{1}{4})=\frac{27}{64}

Và từ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết