Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 21348

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện   \frac{1}{2}  ≤ a,b,c ≤ 2  Chứng minh: \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện  

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện   \frac{1}{2}  ≤ a,b,c ≤ 2

 Chứng minh:

\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}


A.
Click để xem lời giải chi tiết
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức <=> \frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\geq \frac{22}{15}

Đặt x = \frac{b}{a} , y=\frac{c}{b}, z= \frac{a}{c}   thì   \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4   và xyz = 1

bất đẳng thức trở thành :

\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{22}{15}

Không giảm tổng quát, giả sử z nhỏ nhất suy ra xy ≥1   . Theo câu a:

\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}

  t = \sqrt{z}

Ta sẽ chứng minh \frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}\geq \frac{22}{15}   với \frac{1}{2}\leq t\leq 2

Bằng biến đổi tương đương bất đẳng thức:

<=> 8t3 - 22t2 +23t – 7 ≥ 0

 <=> (2t - 1)(4t2 – 9t + 7) ≥0

 Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t\geq \frac{1}{2}  và (4t2 – 9t + 7) ≥0 với mọi t

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết