Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16475

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng: frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq 1

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:

frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq 1


A.
 frac{a^{2}}{b+c} geq 2a - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq 2b - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq 2c - frac{a+b}{4}.
B.
 frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{4}.
C.
 frac{a^{2}}{b+c} geq frac{a}{2} - frac{b+c}{4};  frac{b^{2}}{c+a} geq frac{b}{2} - frac{a+c}{4};  frac{c^{2}}{a+b} geq frac{c}{2} - frac{a+b}{4}.
D.
 frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{2};  frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{2};  frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{2}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 

frac{a^{2}}{b+c} +frac{b+c}{4} geq 2sqrt{frac{a^{2}}{b+c}.frac{b+c}{4}} = 2.frac{a}{2} = a

=> frac{a^{2}}{b+c} geq a - frac{b+c}{4}

Tương tự : frac{b^{2}}{c+a} geq b - frac{a+c}{4}; frac{c^{2}}{a+b} geq c - frac{a+b}{4}.

Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được:

frac{a^{2}}{b+c} + frac{b^{2}}{c+a} + frac{c^{2}}{a+b} geq (a + b +c) - frac{a+b+c}{2} = frac{a+b+c}{2} =1

=> đpcm

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết