Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 (
+ ![\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2014/0510/57034_394459_2.gif)
)
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) - 2 ab .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 ( + )
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c2 = 5(a + b + c)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
(a + b)2 + c2 ≥ 
(a + b + c)2 => (a + b + c)2 ≤ 5(a + b + c)
=> 0 < a + b + c ≤ 10
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có
= 
; 
= .4 ≤ 
(
+ 4)
= 
=> ≥ 
![\sqrt[3]{b+c}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2014/0510/v52116_891142_13.gif)
= ![\sqrt[3]{(b+c).8.8}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2014/0510/v52116_23077_15.gif)
≤ .
= 
=> ![\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2014/0510/v52116_778712_19.gif)
≥ 
=> P ≥ a = b +c + 48.12(
+ 
)
Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được
+ ≥ 
=> P ≥ a + b + c + 
Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + 
. Xét hàm f(x) = t + trên (0;10]
Ta có f'(t) = 1 - 
= 
=> f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]
=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
⇔ 
Vậy minP = 58 đạt được khi
Ta có a2 + b2 + c2 = 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c2 = 5(a + b + c)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
(a + b)2 + c2 ≥ (a + b + c)2 => (a + b + c)2 ≤ 5(a + b + c)
=> 0 < a + b + c ≤ 10
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có
= ; = .4 ≤ ( + 4)
= => ≥
= ≤ . =
=> ≥
=> P ≥ a = b +c + 48.12( + )
Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được
+ ≥
=> P ≥ a + b + c +
Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + . Xét hàm f(x) = t + trên (0;10]
Ta có f'(t) = 1 - = => f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]
=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔
Vậy minP = 58 đạt được khi
Câu hỏi liên quan
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Tính tích phân I=
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tính tích phân I=
-
Giải phương trình:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.