Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a đường cao SA = a. Trên AB và AD lấy hai điểm M, N sao cho AM = DN = x (0 < x < a). Tính thể tích hình chóp S.AMCN theo a và x ? Xác định x để MN bé nhất.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng 45⁰. Tính thể tích hình chóp S.ABNM và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM).

Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  = 60^o, AC' = 2a. Gọi O là giao điểm của BD và AC, E là giao điểm của A’O và AC’. Tính thể tích tứ diện EABD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDE).     

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 120⁰. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. SA vuông góc với đáy, SA = a, AB = 2AD, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 60⁰. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và CD. Tính thể tích khối tứ diện OMNP theo a. (a > 0).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√6. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a√2. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn:   = -2  , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60⁰. Hãy tính thế tich khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng  , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD). 

Cho hình chóp S.ABCD  đáy là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân đỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (a > 0), SA tạo với đáy (ABC) góc 60⁰. Tam giác ABC vuông tại B, góc ACB bằng 30⁰. G là trọng tâm của tam giác ABC, hai mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có   = 120^o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.

Cho hình lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30⁰. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A₁B₁C_1­) thuộc đường thẳng B₁C₁. Tính thể tích khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA₁ và B₁C₁  theo a.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a,   AA' = 4a (a > 0). Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C .

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a; điểm M là trung điểm của cạnh SA. Tính thể tích tứ diện SMBD.