Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho: () = 60⁰. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK là tam giác vuông và tính thể tích V_S.ABC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα  = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của B'C' và AD. Tính thể tích khối chóp A'.BED'F và góc giữa hai mặt phẳng (BED'F) và (ADD'A')

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đấy là tam giác vuông cân, AB = AC = a. Hình chiếu của B xuống (A'B'C') trùng với trung điểm của B'C'. Gọi M là trung điểm của A'C'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và góc giữa hai đường thẳng BC' và MB' biết rằng AA' = a.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = AA’ = a, AC = a√2. Gọi E là trung điểm của BC’, F là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BC = 3BF. Chứng minh rằng (AB’F) ⊥ (BCC’B’)  và tính theo a thể tích của khối tứ diện  ABEF.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.

Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng khoảng cách từ S đến (ABC) bằng a, khoảng cách từ B đến ( SAC) bằng , diện tích của tam giác SAC bằng 2a² . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥  BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A,AB = 2a,AC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau  và bằng a√2. Gọi M,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,I là điểm thỏa mãn . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB=2a, BC=a, =60^o, góc giữa đường thẳng B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng 30^o. Gọi M là trung điểm của CC’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DD’.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a,cạnh bên bằng a√3. Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích khối chóp B'A'C' ED và chứng minh rằng B'O ⊥ (A'C' ED),trong đó ) là tâm của mặt bên (ACC' A').

Cho hình lăng trụ dứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân, BA = BC = BB' = a. Gọi M, N  lần lượt là trung điểm của A'B' bà BC. Điểm P nằm trên đoạn thẳng BB' sao cho BP = 2B'P. Chứng minh rằng (MCC') vuông góc với (MNP) và tính thể tích khối chóp CC'MP.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C, = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân (BC // AD). Biết rằng hình chiếu của S xuống (ABCD) trùng với trung điểm của AD, SB = a√2, AD = 2a, AB = BC = CD = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.