Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB=a; AC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30⁰. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM=3MA. Tính theo a thể tích của khối hình chóp S.DCM và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). 

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA. Mặt bên (ABB'A') hợp với mặt đáy(ABC) một góc bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC'. 

Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng . Biết SA = SB = SC và cạnh SB tạo với mặt phẳng (SBCD) một góc . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Trong mặt phẳng (α) cho tam giác đều ABC cạnh a, E là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua E. Trên đường thẳng vuông góc với (α) tại D lấy điểm S sao cho SD=. Gọi F là hình chiếu vuông góc của E trên SA. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính theo a thể tích của khối chóp F.ABC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Biết hai đường chéo AC=2a√3 ; BD=2a  cắt nhau tại O và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng  . Tính khoảng cách giữa CD, SA và tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc A bằng 60^o . Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30^o. Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, góc giửa (SBC) và (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối chóp SABC. Biết AB=5, BC=6.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của BC, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30^o. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và ở B, AB=BC=a; AD=2a, tam giác SAB cân tại đỉnh S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy góc 60⁰ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách AB với SD.

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a√2, SA = SB = SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.