Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 8692

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

Cho n là số tự nhiên, n≥ 2. Tính S =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho n là số tự nhiên, n ≥ 2. Tính S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n


A.
S = n.3n + 2 (2 - 4n)
B.
S = n.3n – 2 (2 + 4n)
C.
S = n.3n + 2 (2 + 4n)
D.
S = n.3n – 2 (2 - 4n)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

S = \sum_{k=1}^{n}k2C_{n}^{k}  2k = 12. C_{n}^{1} .2 + 22C_{n}^{2} .22 + … + n2.C_{n}^{n} .2n

= \sum_{k=1}^{n}k(k - 1)C_{n}^{k} 2k + \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k 

Xét khai triển (1 + x)n =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k} xk

 - n(1 + x)n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} xk – 1 , lấy x = 2 ta được

n.3n – 1 = \sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k} 2k – 1 ⇔ 2n.3n – 1 =\sum_{k=1}^{n} kC_{n}^{k} 2k

- n(n – 1)(1 + x)n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 , lấy x = 2 ta được

n(n – 1).3n – 2 = \sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} xk – 2 ⇔ 4n(n – 1)3n – 2 =\sum_{k=2}^{n}k(k – 1)C_{n}^{k} 2k

Vậy S = n.3n – 2 (2 + 4n)

 

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết