Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 8608

Cho các số thực dương x, y , z. Chứng minh rằng: \frac{x^{2}-xy}{x+y} +  \frac{y^{2}-yz}{y+z} +  \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ 0 .

Cho các số thực dương x, y , z. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y , z.
Chứng minh rằng: \frac{x^{2}-xy}{x+y} +  \frac{y^{2}-yz}{y+z} +  \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ 0 .


A.
Dấu “=” xảy ra khi x = - y = - z.
B.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.
C.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = - z.
D.
Dấu “=” xảy ra khi x = - y = z.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{x^{2}-xy}{x+y} = \frac{x(x+y)-2xy}{x+y} = x – \frac{2xy}{x+y}

Do x, y > 0 => \frac{2xy}{x+y} ≤ \frac{x+y}{2}

Suy ra: \frac{x^{2}-xy}{x+y} ≥ x - \frac{x+y}{2} = \frac{x-y}{2}

Tương tự ta cũng có: \frac{y^{2}-yz}{y+z} ≥ \frac{y-z}{2}; \frac{z^{2}-zx}{z+x}  ≥ \frac{z-x}{2}

Từu đó suy ra: \frac{x^{2}-xy}{x+y} + \frac{y^{2}-yz}{y+z} + \frac{z^{2}-zx}{z+x} ≥ \frac{x-y}{2} + \frac{y-z}{2} + \frac{z-x}{2}   = 0

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết