Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7543

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = \frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = \frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là 5.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là 6.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là 7.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là 8.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ \frac{t^{2}}{4}

P = \frac{t^{3}-t^{2}-xy(3t-2)}{xy-t+1}

Do 3t – 2 > 0  và –xy ≥ - \frac{t^{2}}{4} nên ta có:   P ≥ \frac{t^{3}-t^{2}-\frac{xy(3t-2)}{4}}{\frac{t^{2}}{4}-t+1} = \frac{t^{2}}{t-2}

Xét hàm số : f(t) = \frac{t^{2}}{t-2}; f’(t) = \frac{t^{2}-4t}{(t-2)^{2}}; f’(t) = 0 ⇔\left\{\begin{matrix}t=0\\t=4\end{matrix}\right.

Do đó minP = \min_{(2;+)}f(t) = f(4) = 8 đạt được khi   \left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\xy=4\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.

Giá trị nhỏ nhất của P là 8.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết