Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 6363

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O1 là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO­1 ⊥ (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O<

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O, đường kính AB = 2R. Cho O1 là điểm đối xứng của O qua A. Lấy điểm S sao cho SO­1 ⊥ (P) và SO1 = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn O và điểm S.


A.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}\dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
B.
V = \dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
C.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)
D.
V = \dpi{100} \frac{65}{48}.R3 (đvtt)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết ta cần biết :

-Tâm của mặt cầu qua đường tròn bất kì trong không gian nằm trên trục của đường tròn là đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn. Trong bài này ta gọi trục đường tròn là ∆. Khi đó ∆ // SO1.

-Mặt cầu đi qua A, S ⇒ Tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của SA. Do SO1 // ∆

⇒ Có mặt phẳng (P) chứa SO1 , ∆. Vậy mặt phẳng trung trực của SA cắt (P) theo giao tuyến là trung trực của SA trong mặt phẳng (P). Gọi K là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng qua K vuông góc SA cắt ∆ ở O2. O2 là tâm mặt cầu cần tìm. Kí hiệu mặt cầu là (C). (C) có tâm O2, bán kính R1 = SO2 = O2A              (1)

Trong ∆AOO2 ⇒ O2A = \dpi{100} \sqrt{OO_{2}^{2}+OA^{2}} ; OA = R.        (2)

Trong  ∆SHO2 ⇒ SO2 = \dpi{100} \sqrt{SH^{2}+HO_{2}^{2}}      (O2H ⊥ SO1 )

= \dpi{100} \sqrt{(SO_{1}-O_{1}H)^{2}+O_{2}H^{2}}

= \dpi{100} \sqrt{4R^{2}+(2R-OO_{2})^{2}}                                      (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ OO22 + OA2 = 4R2 + (2R – OO2)2

⇔ OO22 + R2 = 4R2 + 4R2 – 4R.OO2 + OO22

⇔ OO2 = \dpi{100} \frac{7R}{4}

Vậy bán kính mặt cầu:

R1 = \dpi{100} \sqrt{\frac{49R^{2}}{4^{2}}+R^{2}} = \dpi{100} \sqrt{\frac{65R^{2}}{4^{2}}} = \dpi{100} \frac{R}{4}\dpi{100} \sqrt{65}

⇒ V = \dpi{100} \frac{4}{3}\dpi{100} \piR13 = \dpi{100} \frac{65}{48}\dpi{100} \sqrt{65}.\dpi{100} \pi.R3 (đvtt)

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết