Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 5753

Giải phương trình : \sqrt{1-x} = 2x2 – 1 + 2x\sqrt{1-x^{2}}

Giải phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải phương trình : \sqrt{1-x} = 2x2 – 1 + 2x\sqrt{1-x^{2}}


A.
x = \sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{-16}}
B.
x = \sqrt{\frac{-10+2\sqrt{5}}{16}}
C.
x = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}
D.
x = \sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện : \left\{\begin{matrix}1-x\geq 0\\1-x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.   ⇔ \left\{\begin{matrix}x\leq 1\\-1\leq x\leq 1\end{matrix}\right.   ⇔  - 1 ≤  x ≤ 1.

Đặt x = sint; t ∈ [-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} ] phương trình trở thành:

\sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint\sqrt{1-sin^{2}t}

⇔\sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint.|cost|   (*)

Ta có: |cost| = cost do t ∈ [ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}  ], nên:

(*)⇔ \sqrt{1-sint} = 2sin2t – 1 + 2sint.cost

⇔ \sqrt{1-sint} = sin2t – cos2t

⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\1-sint=(sin2t-cos2t)^{2}=1-2sin2tcos2t=1-sin4t\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\sint=sin4t\end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}4t=t+k2\pi\\4t=\pi -t+k2\pi \end{bmatrix}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}sin2t\geq cos2t\\\begin{bmatrix}t=\frac{k2\pi }{3}\\t=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}\end{bmatrix}\end{matrix}\right.

Do t ∈ [ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} ], => t = 0; t = \frac{\pi }{5}; t = -\frac{\pi }{5}, ở đó t = 0 là khi k = 0 trong nhóm nghiệm (A);

Với t = \frac{\pi }{5}; t = - \frac{\pi }{5}là khi k  = 0; k = -1 trong nhóm nghiệm (B).

Với t = 0 =>sin2t = 0; cos2t = 1=>không thỏa mãn sin2t ≥ cos2t.

Với t = - \frac{\pi }{5}=>sin( -\frac{2\pi }{5} ) < 0; cos(-\frac{2\pi }{5} ) > 0 =>không thỏa mãn điều kiện sin2t ≥ cos2t.

Với t = \frac{\pi }{5}=> sin2t ≥ cos2t ⇔ sin\frac{2\pi }{5} ≥ cos\frac{2\pi }{5} => đúng do \frac{2\pi }{5}∈(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2})

Vậy phương trình có nghiệm: x = sin\frac{\pi }{5}

Tính sin\frac{\pi }{5}:

Ta có: \frac{3\pi }{5} + \frac{2\pi }{5} = π => sin\frac{3\pi }{5} = sin\frac{2\pi }{5}

⇔ 3sin\frac{\pi }{5} – 4 sin3\frac{\pi }{5}= 2sin\frac{\pi }{5}.cos\frac{\pi }{5}

⇔ 3 – 4sin2\frac{\pi }{5}= 2cos\frac{\pi }{5}( do sin\frac{\pi }{5} ≠ 0)

⇔ 4cos2\frac{\pi }{5}– 2cos\frac{\pi }{5} – 1 = 0

⇔\begin{bmatrix}cos\frac{\pi }{5}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\\cos\frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{bmatrix}

⇔ cos\frac{\pi }{5} =\frac{1+\sqrt{5}}{4} => sin\frac{\pi }{5} = \sqrt{1-cos^{2}\frac{\pi }{5}} = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}

Vậy x = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{16}}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết