Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 56135

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC,  mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN  và mp(ABCD) bằng 300. 

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC,  mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN  và mp(ABCD) bằng 300. 


A.
VMNABCD = \frac{7\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
B.
VMNABCD = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{12}   .
C.
VMNABCD = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
D.
VMNABCD = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}   .
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

 Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên dễ có

\frac{SG}{SO}=\frac{2}{3} suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

  Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của  SC, SD.

Có:. VS.ABD = VS.BCD = \frac{1}{2}VS.ABCD =\frac{1}{2} V

 Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

\frac{V_{S.ABN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SN}{SD} = 1.1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2} => VS.ABN = \frac{1}{4}V

\frac{V_{S.BMN}}{V_{S.BCD}}=\frac{SB}{SB}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} => VS.ABN = \frac{1}{8}V 

Từ đó suy ra:

VS.ABMN = VS.ABN +  VS.BMN = \frac{3}{8}V

 Ta có: V = \frac{1}{3}SAdt (ABCD); mà theo giả thiết SA \perp (ABCD) nên góc hợp bởi AN với

mp(ABCD) chính là góc \widehat{NAD}, lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra \widehat{NAD} = \widehat{NDA}=30°,  Suy ra: AD = \frac{SA}{tan30^{0}} = a√3

Suy ra: V = \frac{1}{3} SAdt (ABCD) =\frac{1}{3} a.a.a.√3 = \frac{\sqrt{3}}{3}.  a3       3

Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD =VS.ABCD - VS.ABMN =V - \frac{3}{8}V =\frac{5}{8}V = \frac{5\sqrt{3}a^{3}}{24}   .

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết