Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 50597

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Tìm m để hệ phương trình  (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.


A.
m ∈ [0; 5]
B.
m ∈ [0; 1]
C.
m ∈ [0; 3]
D.
m ∈ [0; 4]
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện:\left\{ \begin{array}{l} y \ge 1\\ x + y \ge 0\\ y - x \ge 0 \end{array} \right.

hệ phương trình đã cho tương đương với

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x = {(\sqrt {y - 1} )^3} + \sqrt {y - 1} \,\,(1)\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right. (x, y ∈ R)

Xét hàm số f(t) = t3 + t; f’(t) = 3t2 + 1 >0 , ∀t

=> f(t) luôn đồng biến

Mà (1) có: f(x) = $f(\sqrt {y - 1} )$  => (1) <=> x = \sqrt {y - 1} 

<=> \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = {x^2} + 1 \end{array} \right.

Thay y vào (2) ta có \sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} = m(3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm thoả mãn

x ≥ 0 <=> m thuộc miền giá trị của hàm

g(x) =\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} / [0; +∞)

g'(x) = \frac{{2x + 1e_2\sqrt {{x^2} + x + 1} - \frace_2x - 1e_2\sqrt {{x^2} - x + 1}

g'(x) = 0 < => (2x + 1)\sqrt e_x^2} - x + 1} = (2x - 1)\sqrt {{x^2}+ x + 1} 

<=> (2x + 1)(2x - 1) ≥ 0 và (x + \frac{1}{2})2[(x - \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}] = (x - \frac{1}{2})2[(x + \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}]

  <=> x ∈ Φ

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }g(x) = 1 lập bảng biến thiên ta được m ∈ [0; 1]

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết