Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 49805

Cho tam giác vuông cân ABC (\widehat{A}= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1 : 3. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE ⊥ CK. a. Chứng minh tứ giác ABEC là hình vuông. b. Chứng minh \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}} c. Biết BM = 6 cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.

Cho tam giác vuông cân ABC (= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tam giác vuông cân ABC (\widehat{A}= 900, AB = AC). Trên cạn AC lấy điểm M sao cho MC : MA = 1 : 3. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE ⊥ CK.

a. Chứng minh tứ giác ABEC là hình vuông.

b. Chứng minh \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}

c. Biết BM = 6 cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.


A.
MC = \frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
B.
MC = 1\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = \frac{3}{5} (cm)
C.
MC = 2\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
D.
MC = 1\frac{1}{5} (cm), MK = 2 (cm), KC = 1\frac{3}{5} (cm)
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

a. Xét tứ giác ABEC có \widehat{A} = \widehat{C} = \widehat{E}= 900 và AB = AC nên ABEC là hình vuông.

b. Kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại B cắt EC tại N. Xét ∆ABM và ∆EBN có: AB = AE (vì ABEC là hình vuông).

\widehat{ABM} = \widehat{EBN} (2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).

\widehat{A} = \widehat{E} = 900.

Vậy ∆ABM = ∆EBN (g.c.g) => BM = BN.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông BNK ta có:

\frac{1}{BE^{2}} = \frac{1}{BN^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}, mà AB = BE và BM = BN.

Vậy \frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{BM^{2}} + \frac{1}{BK^{2}}

c. MC : MA = 1 : 3 => MA = 3MC và AB = AC = 4MC.

Đặt MC = x thì MA = 3x, AB = 4x

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABM:

AB2 + AC2 = BM2 => (4x)2 + (3x)2 = 62 ⇔ 25x2 = 36 ⇔ x = \frac{6}{5}

Vậy MC = 1\frac{1}{5} (cm); AB = 4x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} (cm).

Vì CK // AB nên ∆MCK ∽ ∆MAB => \frac{MK}{MB} = \frac{KC}{AB} = \frac{CM}{CA} = \frac{1}{3} => MK = 2 (cm) và KC = \frac{24}{5} : 3 = 1\frac{3}{5} (cm).

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết