Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 46275

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.


A.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{6}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{8}
B.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{2}}{8}
C.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{7}
D.
VS.ABC = \frac{a^3\sqrt{7}}{12},   d(BC, SA) = \frac{a\sqrt{42}}{8}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi M là trung điểm AB, ta có MH = MB - HB = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{6}

Theo giả thiết: SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ HC => tam giác SHC vuông tại H và

(\widehat{SC, (ABC)}) = \widehat{SCH} = 600. 

Trong tam giác CHM ta có 

CH2 = CM2 + MH2 = \left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{a}{6} \right )^2 = \frac{28a^2}{36} (Định lý Pi-ta-go)

=> CH = \frac{a\sqrt{7}}{3},   (CM là đường cao trong tam giác đều ABC)

Trong tam giác vuông SHC ta có 

SC = 2HC = 2\frac{a\sqrt{7}}{3} (Cạnh đối diện với góc 300 ) và SH = CH.tan600. = \frac{a\sqrt{21}}{3}

Diện tích tam giác đều ABC là SABC  = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

VS.ABC  = \frac{1}{3}.SH.SABC  = \frac{1}{3}. \frac{a\sqrt{21}}{3}. \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}

Xét trong mặt phẳng (ABC) kẻ d qua A và // BC. Nên BC // (SA; d)

d(BC, SA) = d[B; (SA, d)]

Dựng hình thoi ABCD. Dựng HK sao cho HK ⊥ AD, HI ⊥ SK (K ∈ AD, I ∈ SK)

Ta có SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AD, mà KH ⊥ AD nên AD ⊥ (SHK)

=> (SAD) ⊥ (SHK) và HI ⊥ SK nên HI ⊥ (SAD)

=> HI là khoảng cách từ H đến (SAD)

=> KH = AH.sin\widehat{KAH} = \frac{2a}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK 

=> \frac{1}{HI^2} = \frac{1}{HS^2} + \frac{1}{HK^2} = \frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{21}}{3} \right )^2} + \frac{1}{\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2}

=> HI = \frac{a\sqrt{42}}{12}

d(BC, SA) = \frac{3}{2}HI = \frac{3}{2}. \frac{a\sqrt{42}}{12} = \frac{a\sqrt{42}}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết