Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 43892

Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1 và đường thẳng d: x - y = 2. Gọi A, B là giao điểm của d và (H). Tìm tọa độ điểm C trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 8.

Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình  -  = 1 và đường thẳng

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1 và đường thẳng d: x - y = 2. Gọi A, B là giao điểm của d và (H). Tìm tọa độ điểm C trên (H) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 8.


A.
C(-4 - 2\sqrt{10} ; -8 - 2\sqrt{10})
B.
C( -4 + 2\sqrt{10};  -8 + 2\sqrt{10})
C.
C(2√2; 2√2) và C(-2√2; -2√2)
D.
Cả A, B, C
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Tọa độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 & & \\ x-y-2=0 & & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 & & \\ x=y+2 & & \end{matrix}\right.

=> \frac{(y+2)^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1 ⇔ 2(y2 + 4y + 4) – y2 = 8 ⇔ y2 + 8y = 0 

⇔ \left [\begin{matrix} y=0 & & \\ y=-8 & & \end{matrix}

Nếu y = 0 => x = 2 => A(2; 0)

Nếu y = -8 => x = -6 => B(-6; -8)

Vậy (d) ∩ (H) = {A(2; 0); B(-6; -8)} => AB = 8√2

Gọi C(x0; y0) ∈ (H) ta có \frac{x^{2}_{0}}{4} - \frac{y^{2}_{0}}{8} = 1 (1)

Gọi H là hình chiếu của C lên d có diện tích tam giác ABC là:

SABC = \frac{1}{2}AB.CH = CH.4√2

Trong đó CH = d(C,(d)) = \frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{2}}

SABC = 8 ⇔ 4√2.\frac{|x_{0}-y_{0}-2|}{\sqrt{2}} = 8

⇔ |x0 – y0 - 2| = 2 ⇔ \left [\begin{matrix} x_{0}-y_{0}-2=2 & & \\ x_{0}-y_{0}-2=-2 & & \end{matrix} ⇔ \left [\begin{matrix} x_{0} =y_{0}+4& & \\ x_{0} =y_{0}& & \end{matrix}

TH1)Với x0 = y0 + 4 ta có:

\frac{(y_{0}+4)^{2}}{4} - \frac{y_{o}^{2}}{8} = 1 ⇔ 2(y02 + 8y0 + 16) – y02 = 8 ⇔ y02 + 16y0 + 24 = 0

=> y0 = -8 ± 2\sqrt{10}

Nếu y0 = -8 - 2\sqrt{10} => x0 = -4 - 2\sqrt{10} 

Nếu y0 = -8 + 2\sqrt{10} => x0 = -4 + 2\sqrt{10}

TH2)Với x0 = y0  ta có: \frac{x^{2}_{0}}{4} - \frac{x^{2}_{0}}{8} = 1 ⇔ \frac{x^{2}_{0}}{8} = 1 ⇔ x0 = ± 2√2

=> x0 = y0  = 2√2 hoặc x0 = y0  = -2√2

Vậy ta tìm được 4 điểm C thỏa mãn.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết