Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 43025

Giải hệ phương trình : \left \{ \begin{matrix} (x-1)\sqrt{y}+(y-1)\sqrt{x}=\sqrt{2xy} \: \: (1)\\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\: \: \: (2) \end{matrix}

Giải hệ phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình :

\left \{ \begin{matrix} (x-1)\sqrt{y}+(y-1)\sqrt{x}=\sqrt{2xy} \: \: (1)\\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy\: \: \: (2) \end{matrix}


A.
x = y = 2
B.
x = y = 1
C.
x = y = 3
D.
x = y = 4
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện x  ≥  1,y  ≥  1 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:\sqrt{x-1} ≤ \frac{x-1+1}{2} = \frac{x}{2}

 => y\sqrt{x-1} ≤ \frac{xy}{2} (3) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{x-1} = 1

\sqrt{y-1}≤ \frac{y-1+1}{2} = \frac{y}{2} => x\sqrt{y-1} ≤ \frac{xy}{2}(4) dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \sqrt{y-1} = 1

Cộng (3) và (4) theo từng vế ta có x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} ≤ xy.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  \sqrt{x-1} = 1 và \sqrt{y-1} = 1

 <=> x = y = 2 (5)

Do (5) suy ra phương trình (2) của hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

Thay x = y = 2 vào (1) thỏa mãn .Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết