Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 42374

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 1+x^{2}+y^{2}=5x+2xy\\ xy^{2}-2y(y^{2}+y+1)=2(x+1) \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 1+x^{2}+y^{2}=5x+2xy\\ xy^{2}-2y(y^{2}+y+1)=2(x+1) \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})


A.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (13; 5)
B.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (1; -1), (13; 5)
C.
(x; y) = (2; -1), (10; 3), (1; -1)
D.
(x; y) = (10; 3), (1; -1), (13; 5)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Hệ phương trình tương đương với: \left\{\begin{matrix} (1+y^{2})+x(x-2y)=5x\\ (1+y^{2})(x-2y-2)=2x \end{matrix}\right.(I)

* Nếu x = 0 thì hệ (I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+y^{2}=0\\ (1+y^{2})(2y-2)=0 \end{matrix}\right.   (vô nghiệm)

* Nếu x ≠ 0 thì chia cả 2 vế của cả 2 phương trình trong hệ cho x ta được hệ tương đương:

\left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}+(x-2y)=5\\ \frac{1+y^{2}}{x}(x-2y-2)=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}+(x-2y-2)=3 \\ \frac{1+y^{2}}{x}(x-2y-2)=2 \end{matrix}\right.

Đặt u = \frac{1+y^{2}}{x}, v = x - 2y - 2, ta được hệ phương trình:

\left\{\begin{matrix} u+v=3\\ uv=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=1\\ v=2 \end{matrix}\right. hoặc \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right.

+) Với \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}=1\\ x-2y-2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1+y^{2}\\ x=2y+4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+4\\ y^{2}-2y-3=0 \end{matrix}\right.

<=> x = 2y + 4 và y = -1 hoặc x = 2y + 4 và y = 3

<=> \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=10\\ y=3 \end{matrix}\right.

+) Với u = \left\{\begin{matrix} u=2\\ v=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1+y^{2}}{x}=2\\ x-2y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=1+y^{2}\\ x=2y+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+3\\ y^{2}-4y-5=0 \end{matrix}\right.

<=> x = 2y + 3 và y = -1 hoặc x = 2y + 3 và y = 5

<=> \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x=13\\ y=5\end{matrix}\right.

KL: Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm là (x; y) = (2; -1), (10; 3),(1; -1), (13; 5)

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết