Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38448

Cho  a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)

Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho  a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)


A.
Min F = \left (\frac{5}{2} \right )^{3}
B.
Min F = \left (\frac{10}{9} \right )^{3}
C.
Min F = \left (\frac{8}{4} \right )^{3}
D.
Min F = \left (\frac{10}{3} \right )^{3}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

F = (1+ a2)(1+ b2)(1+ c2) = a2 + b2 + c2 + a2b2 + a2c2 + b2c2 + a2b2c2 + 1

=1 – 2(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2 - 2abc + (abc)2 +1

=(ab + bc + ca - 1)2 + (1 - abc)2             (1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có :

abc  ≤  \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{3}=\frac{1}{27}  =>( 1 – abc )2  ≥ \left ( \frac{26}{27} \right )^{2}(2)

ab + bc + ca ≤ \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}

 

(1 – ab – bc – ca )2  ≥  \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}(3)

Từ  (1), (2), (3) suy ra F\geq \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}+\left ( \frac{26}{27} \right )^{2}=\left ( \frac{10}{9} \right )^{3}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <=> a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là \left (\frac{10}{9} \right )^{3}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết