Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34815

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  P = \frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

P = \frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}


A.
Max (P) = \frac{4}{9} khi x= \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}
B.
Max (P) = \frac{2}{9} khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z =\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
Max (P) = 1 khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}
D.
Max (P) = 2 khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z =\frac{\sqrt{2}}{4}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có x = \frac{y-z}{1+yz} thay vào biểu thức ta có:

P = \frac{2(1+yz)^{2}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

P = \frac{2z[2y+(y^{2}-1)z]}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

Áp dụng BĐT (ax + by)2 ≥ (a2  + b2)(x2 + y2) (cần chứng minh)

P ≤ \frac{2z\sqrt{[4y^{2}+(y^{2}-1)^{2}](1+z^{2})}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

P ≤ \frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}} 

p ≤ \frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}} ( 1- \frac{z^{2}}{z^{2}+1} )

= -3t3 + t với t = \frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}} ∈ (0; 1)

Xét hàm số f(t) = -3t3 + t  có max f(t) = f(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}

Vậy GTLN của P bằng \frac{2}{9} khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}

Cách Khác .

Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ (0, \frac{\pi}{2})

Từ giả thiết ta có x = \frac{y-z}{1+ yz} ⇔ tan A = \frac{tanB -tan C}{1+ tanB.tanC}

⇔ tanA = tan(B - C)

⇔ A = B - C + kπ ⇔ A + C - B = kπ

Do - \frac{\pi}{2} < A + C - B < π => A + C - B = 0 ⇔  A - B = -C

Lúc đó

P=\frac{2}{1+ tan^{2}A}-\frac{2}{1+ tan^{2}B}- \frac{4tanC}{\sqrt{1+ tan^{2}C}} + \frac{3tanC}{(1+tan^{2}C)\sqrt{1+ tan^{2}C}}

= 2cos2A – 2cos2B – 4sinC + 3sinC.cos2C

=cos2A – cos2B – 4sinC + 3sinC(1 - sin2C)

=-2sin(A + B)sin(A – B) - sinC -3 sin3C

=2sin(A + B)sinC – sinC – 3sin3C ≤  2sinC – sinC – 3sin3C 

Xét hàm số f(x) = x - 3x3, x = sinC ∈ (0; 1)

f'(x)= 1- 9x2 = 0  ⇔ x= \frac{1}{3}. Lập BBT suy ra Max(0; 1) f(x) = f (\frac{1}{3})= \frac{2}{9}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết