Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31177

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng: 8a^{4}+8b^{4}+27c^{4}\geq \frac{27}{64}(a+b+c)^{4}

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng: 8a^{4}+8b^{4}+27c^{4}\geq \frac{27}{64}(a+b+c)^{4}


A.
Click để xem đáp án.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Nếu a+b+c=0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu a+b+c \neq0 thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

8(\frac{a}{a+b+c})^{4}+8(\frac{b}{a+b+c})^{4}+27(\frac{c}{a+b+c})^{4}\geq \frac{27}{64}(1)

Đặt x=\frac{a}{a+b+c}, y=\frac{b}{a+b+c}, z=\frac{c}{a+b+c}\Rightarrow x+y+z=1. (1) trở thành 8x4+8y4+27z4\geq\frac{27}{64} (2)

Với hai số thực p.q bất kì ta có:

(p-q)^{2}\geq 0\Rightarrow 2pq\leq p^{2}+q^{2}\Rightarrow (p+q)^{2}\leq 2(p^{2}+q^{2})

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

(x+y)^{4}=[(x+y)^{2}]^{2}\leq [2(x^{2}+y^{2})]^{2}=4(x^{2}+y^{2})^{2}\leq 4.2(x^{4}+y^{4})

=8(x^{4}+y^{4})

Từ đó: 8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq (1-z)^{4}+27z^{4}=f(z)

Ta có:  f’(z)=-4(1-z)3+27.4z3; f’(z)=0 ⇔ (1-z)3=27z3\Leftrightarrow 1-z=3z\Leftrightarrow z=\frac{1}{4}

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra: 8(x^{4}+y^{4})+27z^{4}\geq f(z)\geq f(\frac{1}{4})=\frac{27}{64}

Và từ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết