Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31170

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0} BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy A

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0} BC=2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.


A.
\frac{4\sqrt{5}a}{5}
B.
\frac{3\sqrt{5}a}{5}
C.
\frac{2\sqrt{5}a}{5}
D.
\frac{\sqrt{5}a}{5}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Góc giữa SA và mp(ABC) là \widehat{SAH}=60^{0}. Ta có:

\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(a\sqrt{3})^{2}}=\frac{4}{3a^{2}} =>     AH= \frac{a\sqrt{3}}{2}

 =>  SH\Rightarrow SH=AH.tan60^{0}=\frac{3a}{2}

Từ đó: V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}

Ta có: CA^{2}=CH.CB\Rightarrow CH=\frac{CA^{2}}{CB}=\frac{(a\sqrt{3})^{2}}{2a}=\frac{3a}{2}. Từ đó:

\frac{d(B; (SAC))}{d(H; (SAC))}=\frac{CB}{CH}=\frac{2a}{\frac{3a}{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)

Hạ HE \perp AC; HK \perp SE . Ta có AC\perp HE, AC\perp SH =>  AC\perp(SHE). Từ đó:  HK \perp AC, SE => HK \perp (SAC).

Từ đó:d(B; (SAC)=\frac{4}{3}d(H; (SAC)=\frac{4}{3}HK

Ta có: \frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{3}{4}\Rightarrow HE=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}

Từ đó: HK^{2}=\frac{HS^{2}.HE^{2}}{HS^{2}+HE^{2}}=\frac{(\frac{3a}{4})^{2}.(\frac{3a}{2})^{2}}{\frac{3a}{4})^{2}+(\frac{3a}{2})^{2}}=\frac{9a^{2}}{20}\Rightarrow HK=\frac{3\sqrt{5}a}{10}

d(B; (SAC)=\frac{4}{3}HK=\frac{4}{3}.\frac{3\sqrt{5}a}{10}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết