Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31046

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiế

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a


A.
V = \frac{\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
B.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
C.
V = \frac{4\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
D.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d= \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD) 

Gọi O = AC ∩ BD => CH = \frac{2}{3} .CO = \frac{1}{3}.AC = a

SA tạo với đáy góc 450 suy ra \widehat{SAH} = 450

=> SH = AH = 2a 

Gọi V là thể tích của khối hộp S.ABCD thì

  V = \frac{1}{3}.SABCD.SH = \frac{1}{3}.a.2√2.a.2a = \frac{4\sqrt{2}}{3}.a3

Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng (ACM) chứa AC và //SD. Do đó

d(SD; AC) = d(SD; (ACM)) = d(D; (ACM)). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2√2; 0), S(\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}.a; 2a), C(a; 2√2a; 0) 

và M(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3}; a)

 \overline{AC} = (a; 2√2a; 0)\overline{AM}=(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\Rightarrow \overline{AC}\wedge \overline{AM}=(2\sqrt{2}a^{2};-a^{2};-\sqrt{2}a^{2})

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến  \overrightarrow{n} = (2√2; -1; -√2)  nên có phương trình là 2√2.x - y - √2z = 0 

=> d\Rightarrow d(D;(ACM))=\frac{\begin{vmatrix} -2\sqrt{2}a \end{vmatrix}}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết