Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 2995

Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng khoảng cách từ S đến (ABC) bằng a, khoảng cách từ B đến ( SAC) bằng \frac{2a}{3}, diện tích của tam giác SAC bằng 2a2 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABC có cạnh bên bằng nhau và có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng khoảng cách từ S đến (ABC) bằng a, khoảng cách từ B đến ( SAC) bằng \frac{2a}{3}, diện tích của tam giác SAC bằng 2a2 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.


A.
Thể tích của khối nón bằng V = \frac{256\pi a^{3}}{216} ,Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = \frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{120} (đvdt)
B.
Thể tích của khối nón bằng V = \frac{256\pi a^{3}}{216},  Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = \frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{144} (đvdt)
C.
Thể tích của khối nón bằng V = \frac{256\pi a^{3}}{216} , Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = = \frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{130} (đvdt)
D.
Thể tích của khối nón bằng V =  \frac{256\pi a^{3}}{216} ,  Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = \frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{140} (đvdt)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm O của BC chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO⊥ (ABC). Suy ra SO = a.

Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó OM ⊥AC . Kẻ OH ⊥ SM tại H.

Khi đó OH⊥(SAC). Do đó

OH = d(O,(SAC)) = \frac{1}{2}d(B,(SAC)) =\frac{a}{3}.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM ta có \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OS^{2}} + \frac{1}{OM^{2}} =>\frac{1}{OM^{2}} = \frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} => OM = \frac{a}{\sqrt{8}}

Trong tam giác vuông SOM ta có

SM = \sqrt{SO^{2}+OM^{2}} = \sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{8}} = \frac{3a}{\sqrt{8}}

Trong tam giác SAC ta có  AC = \frac{2S_{SAC}}{SM} = \frac{2a^{2}\sqrt{8}}{3a} = \frac{8a\sqrt{2}}{3}.

Trong tam giác vuông OMC ta có

OC =\sqrt{OM^{2}+MC^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{8}+\frac{32a^{2}}{9}} = \frac{a\sqrt{530}}{12}.

Trong tam giác vuông SOC ta có

SC =\sqrt{SO^{2}+OC^{2}} =\sqrt{a^{2}+\frac{265a^{2}}{72}} =\frac{a\sqrt{674}}{12}.

Thể tích của khối nón bằng V = \frac{1}{3}.π. OC2.SO = \frac{1}{3}π.\frac{256a^{2}}{72}.a = \frac{256\pi a^{3}}{216} (đvtt).

Diện tích xung quanh của hình nón bằng S = π. OC.SC = π\frac{a\sqrt{530}}{12}.\frac{a\sqrt{674}}{12} = \frac{\pi a^{2}\sqrt{357220}}{144} (đvdt)

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết