Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 19341

Cho a, b, c dương và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}

Cho a, b, c dương và a2 + b2 + c2 = 3. T

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c dương và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}


A.
Min P = \small \frac{3}{2}
B.
Min P = \small \frac{3}{4}
C.
Min P = 3
D.
Min P = 6
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}+3}{16}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{6}}{64}}=\frac{3a^{2}}{4}    (1) 

\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}+3}{16}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^{6}}{64}}=\frac{3b^{2}}{4}           (2)

\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{a^{3}+3}{16}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^{6}}{64}}=\frac{3c^{2}}{4}          (3)

Lấy (1) + (2) + (3), vế theo vế ta được: 

P+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+9}{16}\geq \frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})    (4)

Vì a2 + b2 + c2 = 3, từ (4) => P\geq \frac{3}{2}

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy Min P = \small \frac{3}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết