Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1925

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB=2a, BC=a, \widehat{BAD}=60o, góc giữa đường thẳng B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng 30o. Gọi M là trung điểm của CC’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DD’.

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB=2a, BC=a, <

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, AB=2a, BC=a, \widehat{BAD}=60o, góc giữa đường thẳng B’C và mặt phẳng (ACC’A’) bằng 30o. Gọi M là trung điểm của CC’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DD’.


A.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{a^{3}\sqrt{105}}{7} (đvtt) D(DD’,AM)=\frac{a\sqrt{21}}{7}
B.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{a^{3}\sqrt{21}}{7} (đvtt) D(DD’,AM)=\frac{a\sqrt{3}}{8}
C.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{21} (đvtt) D(DD’,AM)=\frac{2a\sqrt{3}}{3}
D.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{a^{3}\sqrt{14}}{3} (đvtt) D(DD’,AM)=\frac{a\sqrt{7}}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Kể BH⊥A'C' tại H. Kết hợp với BH⊥AA' suy ra BH⊥(ACC'A').

Từ đó suy ra góc giữa B'C và mặt phẳng (ACC'A') bằng \widehat{B'CH}

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có

AC2=BC2+BA2-2.BC.BA.cos120o=a2+4a2-2.a.2a.(\frac{-1}{2})=7a2.

Suy ra AC=a√7

Ta có

B'H=\frac{2S_{A'B'C'}}{A'C'}=\frac{B'A'.B'C'sin120^{o}}{A'C'} = \frac{a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}

Trong tam giác vuông B'CH ta có

B'C=\frac{B'H}{sin30^{o}} = \frac{2a\sqrt{21}}{7}

Trong tam giác vuông BB'C ta có

BB'=\sqrt{B'C^{2}-BC^{2}}=\sqrt{\frac{84a^{2}}{49}-a^{2}} = \frac{a\sqrt{35}}{7} .

Từ đó ta có

VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.sin60o.AA’=2a.a.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{35}}{7} = \frac{a^{3}\sqrt{105}}{7} (đvtt)

Mặt phẳng chứa AM và song song với DD' là (ACC'A').

Do đó

d(DD',AM)=d(DD',(ACC'A'))=d(D',(ACC'A')) = d(B',(ACC'A'))

= B'H \frac{a\sqrt{21}}{7}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết