Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức
P = 4(
+
+
) + 15abc
Câu hỏi
Nhận biếtCho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức
P = 4( + + ) + 15abc
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có:
a2 ≥ a2 – ( b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 – ( c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 – ( a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được:
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương với abc ≥ (2 - 2a)(2 -2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b + c) + 8 (ab + bc + ca) - 9abc 
0
<=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) ≥ -8 (**)
Ta có : 
+ 
+ 
= (a + b + c)3 - 3(a + b + c) (ab + bc + ca) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ca) + 3abc
Từ đó 4( + + ) + 15abc = 7abc - 24(ab + bc + ca) + 32 ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c= 
.
Do đó GTNN của P = 8 khi a=b=c= .
Ta có:
a2 ≥ a2 – ( b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 – ( c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 – ( a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được:
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương với abc ≥ (2 - 2a)(2 -2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b + c) + 8 (ab + bc + ca) - 9abc 0
<=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) ≥ -8 (**)
Ta có : + + = (a + b + c)3 - 3(a + b + c) (ab + bc + ca) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ca) + 3abc
Từ đó 4( + + ) + 15abc = 7abc - 24(ab + bc + ca) + 32 ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c= .
Do đó GTNN của P = 8 khi a=b=c= .
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Tính tích phân I =
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Giải phương trình:
-
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=