Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15549

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.


A.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{5}{25}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}.
B.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{2}{25}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{1}{16}.
C.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}.
D.
Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; giá trị nhỏ nhất của S bằng - frac{191}{16}.
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Do x + y = 1, nên: S = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 9xy + 25xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12.

Đặt t = xy, ta được : S = 16t2 – 2t + 12; 0 ≤ xy ≤  frac{(x+y)^{2}}{4} =  frac{1}{4}  => t ∈ [0; frac{1}{4}].

Xét hàm f(t) = 16t2 – 2t + 12 trên đoạn [0; frac{1}{4}]

f’(t) = 32t – 2; f’(t) = 0 ⇔ t = frac{1}{16} ; f(0) = 12, f(frac{1}{16}) = frac{191}{16}, f(frac{1}{4}) = frac{25}{2}.

max_{[0;frac{1}{4}]}f(t) = f(frac{1}{4}) = frac{25}{2}; min_{[0;frac{1}{4}]}f(t) = ffrac{1}{16}= frac{191}{16}.

Giá trị lớn nhất của S bằng frac{25}{2}; khi left{begin{matrix}x+y=1\xy=frac{1}{4}end{matrix}right. ⇔ (x; y) = (frac{1}{2} ; frac{1}{2})

Giá trị nhỏ nhất của S bằng frac{191}{16}; khi left{begin{matrix}x+y=1\xy=frac{1}{16}end{matrix}right.

⇔ (x; y) = (frac{2+sqrt{3}}{4}; frac{2-sqrt{3}}{4}) hoặc (x; y) = (frac{2-sqrt{3}}{4} ; frac{2+sqrt{3}}{4})

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết