Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1454

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức            P = \frac{x^{3}+3}{y^{2}+2} + \frac{y^{3}+3}{z^{2}+2} + \frac{z^{3}+3}{x^{2}+2}

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của b

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức            P = \frac{x^{3}+3}{y^{2}+2} + \frac{y^{3}+3}{z^{2}+2} + \frac{z^{3}+3}{x^{2}+2}


A.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là \frac{9}{2}
B.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là -\frac{9}{2}
C.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là = \frac{9}{4}
D.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là -\frac{9}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì a,b ∈ [0;1] nên ta có

\frac{a^{3}+3}{b^{2}+2}  ≤ \frac{a^{2}+3}{b^{2}+2}  = (a3 + 3).\frac{1}{2} \left ( 1-\frac{b^{2}}{b^{2}+2} \right ) 

 = \frac{1}{2}(a2 + 3) - \frac{1}{2}(a2 + 3).\frac{b^{2}}{b^{2}+2}   ≤  \frac{1}{2} (a2 + 3) -   \frac{1}{2} (a2 + 3).\frac{b^{2}}{3} 

=\frac{1}{2}(a2 - b2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}a2b2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a,b ∈ {0;1}

Hoàn toàn tương tự ta có

\frac{b^{3}+3}{c^{2}+2}\leq \frac{1}{2} (b2 – c2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}.b2c2

\frac{c^{3}+3}{a^{2}+2}\leq \frac{1}{2}(c2 - a2) + \frac{3}{2}-\frac{1}{6}.c2a2

Suy ra P ≤ \frac{9}{2}-\frac{1}{6}(a2b2 + b2c2 +  c2a2 ) ≤  \frac{9}{2}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, c ∈ {0;1} và a2b2 +b2c2 +  c2a2 = 0 hay trong ba số a,b,c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

Suy ra giá trị lớn nhất của P là  \frac{9}{2}, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại bằng 0.

 

 

  

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết