Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1439

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,\widehat{BAC} = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,\widehat{BAC} = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)


A.
VMC’ABC = -\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{3}}{3}
B.
VMC’ABC = -\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = a^{3}\sqrt{4} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}
C.
VMC’ABC = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng   cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}
D.
VMC’ABC = \frac{a^{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt),góc giữa 2 mặt phẳng cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{10}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

                           

Đặt CA = CB = x. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA

⇔ x2 = 3a2 + x2 – 2.a √3.x.\frac{\sqrt{3}}{2}  => x = a

Ta chia khối đa diện MC' ABC thành hai khối chóp M.ACC' và M.ABC.

Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Khi đó BH ⊥  (ACC'). Suy ra

d(M,(ACC') = d(B,ACC') = BH = asin60° = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Do đó  VM.ABC = \frac{1}{3} .d(M,(ACC')).SACC’ = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\left ( \frac{1}{2}.a.a \right ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}

Ta có VM.ABC  = \frac{1}{3} .MB. SABC = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.(\frac{1}{2} .a.a √3.sin30°) =  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}

Từ đó suy ra  VMC’ABC = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt)

(Lưu ý rằng chúng ta cũng có thể chứng minh được VMC’ABC = \frac{1}{2}.VABC.A’B’C’

Từ đó ta sẽ tính được thể tích khối đa diện MC' ABC)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác ACC', ABM, MB'C' ta tính được:

AC' = a√2 ,AM = \frac{a\sqrt{13}}{2}, MC' = \frac{a\sqrt{5}}{2}.

Từ đó suy ra tam giác AMC' vuông tại C.Khi đó ta có:

cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết