Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14214

Cho hai số thực x#0,y#0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:(x+y)xy=x2+y2-xy.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=frac{1}{x^{3}}+frac{1}{y^{3}}

Cho hai số thực x#0,y#0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:(x+y)xy=x<

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hai số thực x#0,y#0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

(x+y)xy=x2+y2-xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=frac{1}{x^{3}}+frac{1}{y^{3}}


A.
Amax=16
B.
Amax=12
C.
Amax=14
D.
Amax=6
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết:

(x+y)xy=x2+y2 <=>frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{x^{2}}+frac{1}{y^{2}}-frac{1}{xy}

Khi đó , đặt a=frac{1}{x}, b=frac{1}{y} ta nhận được điều kiện:

a+b=a2+b2-ab <=> a+b=(a+b)2-3ab ≥(a+b)2-3(frac{a+b}{2})^{2}

<=>(a+b)2-4(a+b) ≤0 <=>0≤a+b≤4

Từ đó: A=frac{1}{x^{3}}+frac{1}{y^{3}}=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)2  ≤16

Vậy ta có Amax=16 đạt được khi

left{begin{matrix} a=b\a+b=4 end{matrix}right.<=>a=b=2<=>frac{1}{x}=frac{1}{y}=2<=>x=y=frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết