Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14092

Cho x,y,zgeq0 thoả mãn x+y+z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P=frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}

Cho x,y,z

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y,zgeq0 thoả mãn x+y+z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}


A.
frac{16}{27}
B.
frac{64}{27}
C.
frac{64}{81}
D.
frac{16}{81}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết ta có: x^{3}+y^{3}geq frac{(x+y)^{3}}{4} (chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

Đặt x+y+z=a. Khi đó 4Pgeq frac{(x+y)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}=frac{(a-z)^{3}+64z^{3}}{a^{3}}=(1-t)^{3}+64t^{3}

Với t=frac{z}{a} ,(0leq tleq 1)

Xét hàm số: f(t)=(1-t)^{3}+64t^{3} với tin [0;1]

Ta có: f'(t)=3[64t^{2}-(1-t)^{2}]

f'(t)=0<=>t=frac{1}{9}in [0;1]

Lập bảng biến thiên=>Minf(t)=frac{64}{81}

=>GTNN của P là frac{16}{81} đạt được khi x=y=4z>0

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết