Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13877

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{1+c}+frac{1}{1+d}≥3 Chứng minh rằng abcd≤frac{1}{81} Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{1+c}+frac{1}{1+d}≥3 Chứng minh rằng abcd≤frac{1}{81} Dấu đẳng thức xảy ra khi:


A.
 a=b=c=d=3
B.
 a=b=c=d=2
C.
 a=b=c=d=0
D.
 a=b=c=d=1
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết suy ra:

frac{1}{1+a}≥(1-frac{1}{1+b})+(1-frac{1}{1+c})+(1-frac{1}{1+d})=frac{b}{1+b}+frac{c}{1+c}+frac{d}{1+d}

≥3sqrt[3]{frac{b}{1+b}.frac{c}{1+c}.frac{d}{1+d}}≥0      (1)

Tương tự ta cũng có:

frac{1}{1+b}≥3sqrt[3]{frac{a}{1+a}.frac{c}{1+c}.frac{d}{1+d}}≥0   (2)

frac{1}{1+c}≥3sqrt[3]{frac{a}{1+a}.frac{b}{1+b}.frac{d}{1+d}}≥0   (3)

frac{1}{1+d}≥3sqrt[3]{frac{a}{1+a}.frac{b}{1+b}.frac{c}{1+c}}≥0   (4)

Nhân theo vế bất đẳng thức (1),(2),(3),(4) ta được:

frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}≥frac{81abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}

<=> abcd≤frac{1}{81}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

frac{a}{1+a}=frac{b}{1+b}=frac{c}{1+c}=frac{d}{1+d}=frac{3}{4} <=> a=b=c=d=3

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết