Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13749

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. P =frac{1}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - frac{2}{(a+1))(b+1)(c+1)}

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. 

P =frac{1}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}} - frac{2}{(a+1))(b+1)(c+1)}


A.
Pmax = 3
B.
Pmax = 1
C.
Pmax = frac{1}{5}
D.
Pmax = frac{1}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:

a2 + b2 + c2 + 1 ≥ frac{1}{2}(a + b)2 + frac{1}{2}(c + 1)2  ≥ frac{1}{4}(a + b + c + 1)2

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ (frac{a+b+c+3}{3})^{2}

Suy ra P ≤ frac{2}{a+b+c+1} - frac{54}{(a+b+c+3)^{3}}

Đặt t = a + b + c , t > 1. Khi đó ta có P ≤ frac{2}{t} - frac{54}{(t+2)^{3}}

Xét hàm số f(t) = frac{2}{t} - frac{54}{(t+2)^{3}} trên (1;+∞) ta có:

f'(t) = -frac{2}{t^{2}} + frac{54}{(t+2)^{3}} = 0 <=> 9t = (t + 2)2 <=> begin{bmatrix} t=1\t=4 end{matrix}

f'(t) > 0 <=> 1 < t < 4

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra P ≤ frac{1}{4}. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 4

<=> a = b = c = 1

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết