Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 12634

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc đoạn AC, AH = \frac{AC}{4}. Gọi CM là đường cao của ∆SAC. Chứng  minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC theo a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a.

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc đoạn AC, AH = \frac{AC}{4}. Gọi CM là đường cao của ∆SAC. Chứng  minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC theo a.


A.
VMABC = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{8}.
B.
VMABC = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{18}.
C.
VMABC = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{28}.
D.
VMABC = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{48}.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Học sinh tự vẽ hình.

a. Chứng minh M là trung điểm của SA: Ta có SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}  = \sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{2}}{4})^{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{4}

SC = \sqrt{SH^{2}+CH^{2}} = \sqrt{\frac{14a^{2}}{16}+(\frac{3a\sqrt{2}}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{32a^{2}}{16}} = a√2 = AC.

Suy ra ∆SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.

b.Tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC: Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên :

KM = \frac{1}{2}SH

Ta có: VSABC = \frac{1}{3}SH.S∆ABC = \frac{1}{3}(\frac{1}{2}a)\frac{a\sqrt{14}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{24}

Từ đó: VMABC = VMSBC = \frac{1}{2}VSABC = \frac{a^{3}\sqrt{14}}{48}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết