Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10736

Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab + bc + ca – 2abc.

Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn

Câu hỏi

Nhận biết

Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab + bc + ca – 2abc.


A.
Max M  = \frac{7}{27}.
B.
Max M  = \frac{7}{26}.
C.
Max M  = \frac{7}{24}.
D.
Max M  = \frac{7}{25}.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có ab + bc + ca – 2abc = a(b + c) + (1 – 2a)bc = a(1 – a) + (1 – 2a)bc

Đặt t = bc thì ta có 0 ≤ t = bc ≤ \frac{(b+c)^{2}}{4}=\frac{(1-a)^{2}}{4}

Xét hs f(t) = a(1 – a) + (1 – 2a)t là đơn điệu trên đoạn [0; \frac{(1-a)^{2}}{4}]

Có f(0) = a(1 – a) ≤ \frac{(a+1-a)^{2}}{4} = \frac{1}{4}< \frac{7}{27} và f(\frac{(1-a)^{2}}{4} ) =\frac{7}{27} - \frac{1}{4}(2a + \frac{1}{3})(a - \frac{1}{3})2 ≤ \frac{7}{27} với mọi a ∈[0;1]

Vậy ab + bc + ca – 2abc ≤ \frac{7}{27}.Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = \frac{1}{3}

Max M  = \frac{7}{27}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết