Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 36580

Giải hệ phương trình :  \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x \end{matrix}\right. (x,y ∈ R)

Giải hệ phương trình :

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình : 

\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x \end{matrix}\right. (x,y ∈ R)


A.
(x ; y) = (1 ;-1)
B.
(x ; y) = (-1 ; -2)
C.
(x ; y) = (1 ; 2)
D.
(x ; y) = (1 ; -2)
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\: \, (1)\\ \sqrt{y-xy+9}+2012=\sqrt{y^{2}+2y+4}+2013x\, \, \, (2)\end{matrix}\right.

Điều kiện : y - xy + 9 ≥ 0 

PT (1) ⇔ (x + 1) + \sqrt{(x+1)^{2}+1} = -y + \sqrt{(-y)^{2}+1}

Xét hàm số : f(t) = t + \sqrt{t^{2}+1} trên R

Chứng minh f(t) đồng biến trên R ta được x + 1 = -y

Phương trình (2) trở thành : \sqrt{x^{2}+8}-\sqrt{x^{2}+3} = 2013x - 2012   (3)

  ∀x ∈ R có x2+ 8 > x2+ 3 => 2013x – 2012 > 0 => x >0

Phương trình (3) ⇔(\sqrt{x^{2}+8}-3)-(\sqrt{x^{2}+3}-2) - 2013(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)[\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2}-2013] = 0

Đặt T = \frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+8}-3}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+3}-2} - 2013

Vì x > 0 nên T < 0 do đó x - 1= 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -2)

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết