Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3044

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC =

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật , AB = a√3, AA’ =AC = 2a√3. Hình chiếu của B xuống (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của B’D’. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và góc giữa hai đường thẳng AC và BB’.


A.
VABCD.A’B’C’D’ = 9a3√3, cos(\widehat{AC,BB'})  = \frac{1}{4}
B.
VABCD.A’B’C’D’ = 7a3√3, cos(\widehat{AC,BB'})  = \frac{1}{4}
C.
VABCD.A’B’C’D’ = 9a3√3, cos(\widehat{AC,BB'}) = -\frac{1}{4}
D.
VABCD.A’B’C’D’ = 8a3√3, cos(\widehat{AC,BB'}) = -\frac{1}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Trong tam giác  vuông ABC ta có

BC = \sqrt{AC^{2}-AB^{2}} = \sqrt{12a^{2}-3a^{2}} = 3a.

Gọi O là trung điểm của  B’D’ thì O là tâm của hình chữ nhật A’B’C’D’.

Khi đó BO ⊥(A’B’C’D’).

Trong tam giác vuông BOB’ ta có BO =\sqrt{BB'^{2}-B'O^{2}}  = \sqrt{12a^{2}-3a^{2}} = 3a.

Từ đó suy ra VABCD.A’B’C’D’ =AB.BC.BO = a√3.3a.3a = 9a3√3.

Vì BO ⊥ (ABCD) => BO ⊥AB.

Trong tam giác ABO vuông  tại B ta có

AO = \sqrt{AB^{2}+BO^{2}} = \sqrt{3a^{2}+9a^{2}} = 2a√3.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AA’O ta có

cos\widehat{AA'O} = \frac{A'A^{2}+A'O^{2}-AO^{2}}{2A'A.A'O} = \frac{12a^{2}+3a^{2}-12a^{2}}{22a\sqrt{3}.a\sqrt{3}} = \frac{1}{4}.

Suy ra cos(\widehat{AC,BB'}) = |COS\widehat{AA'O}| = \frac{1}{4}

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết