Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16033

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc vớ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a√3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB,AC.


A.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{4}
B.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{6}, cos(SB,AC)= -frac{sqrt{2}}{4}
C.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{sqrt{2}}{2}
D.
V=frac{sqrt{3}a^{3}}{2}, cos(SB,AC)=frac{1}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Tính VSACD

Có S∆ACD =frac{1}{2}DA.DC=frac{1}{2}a2

h=SA=a√3 (Vì SA vuông góc với đáy)

=> V=frac{1}{3}.SA.S∆ACD=frac{1}{3}a√3.frac{1}{2}a2=frac{sqrt{3}a^{3}}{6} (đvtt)

+ Tính cosin góc giữa SB và AC

-Từ O (giao 2 đường chéo AC và BD) kẻ OM//SB

=> Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng góc giữa hai đường thẳng OM và AC

-Xét tam giác COM

Có OM=frac{1}{2}SB=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AB^{2}}

=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a (Vì OM là đường trung bình của tam giác SBD)

OC=frac{1}{2}AC=frac{asqrt{2}}{2}

Có CD⊥AD, CD⊥SA => CD⊥(SAD) => CD⊥SD

=> Tam giác COM vuông tại D

Có MD=frac{1}{2}SD=frac{1}{2}sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=frac{1}{2}sqrt{(asqrt{3})^{2}+a^{2}}=a

=> CM=sqrt{DC^{2}+DM^{2}}=sqrt{a^{2}+a^{2}}=a√2

=> Cos(widehat{COM})=frac{OM^{2}+OC^{2}-CM^{2}}{2OM.OC}

=frac{a^{2}+(frac{asqrt{2}}{2})^{2}-(asqrt{2})^{2}}{2a.frac{asqrt{2}}{2}} = -frac{sqrt{2}}{4}

=> cos(widehat{SB,AC})=frac{sqrt{2}}{4}

VSACD

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết