Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14437

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy


A.
MinA=2 MaxA=12
B.
MinA=frac{91}{16} MaxA=frac{25}{2}
C.
MinA=frac{191}{4} MaxA=frac{25}{13}
D.
MinA=frac{191}{16} MaxA=frac{25}{2}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Biến đổi A về dạng:

A=16x2y2+12(x3+y3)+9xy+25xy

=16x2y2+12[(x+y)3-3xy(x+y)]+34xy=16x2y2-2xy+12.

Đặt t=xy, ta có đánh giá:

0 ≤xy≤frac{(x+y)^{2}}{4} =frac{1}{4} =>0≤t ≤frac{1}{4}

Khi đó A=16t2-2t+12, với t ∈D=[0;frac{1}{4}], ta có:

A’=32t-2, A’=0<=> 32t-2=0 <=>t=frac{1}{16}

Khi đó:

+ MinA=Min{A(0),A(frac{1}{4}),A(frac{1}{16})}=A(frac{1}{16})=frac{191}{16},

Đạt được khi: t=frac{1}{16} =>left{begin{matrix} x+y=1\xy=frac{1}{16} end{matrix}right.

Tức là x,y, là nghiệm của phương trình:

u2-u+frac{1}{16}=0 <=> u=frac{2pm sqrt{3}}{4}

=>(x;y)=(frac{2+sqrt{3}}{4};frac{2-sqrt{3}}{4}) hoặc (x;y)=(frac{2-sqrt{3}}{4};frac{2+sqrt{3}}{4})

+ MaxA=Max{A(0),(frac{1}{4}),(frac{1}{16})}=A(frac{1}{4})=frac{25}{2}, đạt được khi:

t=frac{1}{4} =>left{begin{matrix} x+y=1\xy=frac{1}{4} end{matrix}right.

tức x,y là nghiệm của phương trình:

u2-u+frac{1}{4}=0 <=>u=frac{1}{2} => (x;y)=(frac{1}{2};frac{1}{2})

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết