Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41739

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)} 

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} + \frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)} 


A.
minP = -24
B.
minP = -9
C.
minP = 9
D.
minP = 24
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

ta áp dụng bất đẳng thức: Với hai số x; y bất kì ta có

(x + y)2 ≥ 4xy. Dấu bằng xảy ra <=> x = y

Ta có

(1 + a)2 (1 + b)2 = [(1 + a)(1 + b)]2 = [(1 + ab) + (a + b)]2 

≥ 4(1 + ab)(a + b)

 

\frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)} ≥ \frac{4(1 + ab)(a + b)}{(1 + c^2)} 

= \frac{4a(1 + b^2)+ 4b(1 + a^2)}{(1 + c^2)} = 4a\frac{1 + b^2}{1 + c^2} + 4b\frac{1 + a^2}{1 + c^2}

Chứng minh tương tự ta có

 \frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)} ≥ 4b\frac{1 + c^2}{1 + a^2} + 4c\frac{1 + b^2}{1 + a^2}

\frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)}  ≥ 4c\frac{1 + a^2}{1 + b^2} + 4a\frac{1 + c^2}{1 + b^2}

Ta có \frac{1 + b^2}{1 + c^2} + \frac{1 + c^2}{1 + b^2}  ≥ 2

\frac{1 + c^2}{1 + a^2} + \frac{1 + a^2}{1 + c^2} ≥ 2

\frac{1 + a^2}{1 + b^2} + \frac{1 + b^2}{1 + a^2} ≥ 2

=> P ≥ 8(a + b + c) = 24

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết